Spillerens fejlslutning
Troen på, at et resultat »skylder at komme«, fordi det ikke har vist sig i et stykke tid.
Efter ti røde er sandsynligheden for sort stadig 18/37. Hjulet fører ingen protokol og skylder intet.
Fejlslutningen
Hvis rødindsatsRødSimpel chance på de 18 røde numre. Fransk: rouge.Læs det hele → er kommet ti gange, føler mange spillere, at sortindsatsSortSimpel chance på de 18 sorte numre. Fransk: noir.Læs det hele → »skylder at komme«, og satser derefter. Andre føler, at rød er »varm«, og satser på den. Begge slutter fra en række, der allerede er slut, til et spin, der ikke har fundet sted. KuglenudstyrKugleDen lille kugle, der sendes ud langs banen mod rotorens omløbsretning. Moderne kugler er af ivorine eller teflon, 18–21 mm.Læs det hele → ved ikke, hvad de sidste ti spin var; lommerneudstyrLommeEt af de 37 nummererede rum på rotoren. Også: fag, skål.Læs det hele → er lige så store, som de var for en time siden; sandsynlighedenmatematikSandsynlighedHvor sandsynligt et udfald er, fra 0 til 1 eller fra 0% til 100%. Ét nummer: 1/37 = 2,70%.Læs det hele → for sort er 18/37, som den altid har været.
Hvorfor det føles rigtigt
I det lange løb nærmer andelene af rød og sort sig faktisk 18/37 hver. De store tals lovmatematikStore tals lovGennemsnittet af uafhængige resultater konvergerer mod den forventede værdi, når antallet af forsøg vokser.Læs det hele → garanterer det. Men konvergensen sker ved fortynding, ikke ved udligning: efter 1.000 spin mere er de ti ekstra røde en afrundingsfejl i andelen, ikke fordi sort har indhentet dem, men fordi stikprøven er vokset. Der er ingen mekanisme, der gør sort mere sandsynlig, og de store tals lov kræver ingen.
Monte Carlo, 18. august 1913
Sort kom 26 gange i træk ved et bord i Casino de Monte-Carlo. Fra omkring den femtende sorte væltede spillerne ind på rød, fordoblede og fordoblede igen, og hvert spin var »mere sikkert« end det forrige. Casinoet vandt millioner af franc. Rækken havde sandsynligheden 1 ud af 137 millioner regnet fra den første sorte, og sandsynligheden for, at det på et tidspunkt ville ske et sted i verdens casinoer, var i det væsentlige én. Det er grunden til, at spillerens fejlslutning også kaldes Monte Carlo-fejlslutningen.
Uanseligt. Sker én gang ud af 44.
Spillerne begynder at lægge mærke til det. Rød »skylder at komme«.
Der er trængsel ved bordet. Indsatserne på rød fordobles efter hvert tab.
Formuer er tabt. Hver ny sort får rød til at føles mere sikker.
Rækken slutter. Casinoet har vundet millioner af franc af folk, der satsede imod en række, som ikke kunne »vide«, at den var en række.
Den varme hånd
At satse på en farve, fordi den er inde i en serie, er den samme fejl vendt om: serien forventes at fortsætte i stedet for at slutte. Psykologer kalder det den varme håndmyteVarm håndTroen på, at en serie gevinster eller af ét resultat gør endnu en mere sandsynlig. Ved hjulet er det spillerens fejlslutning vendt om.Læs det hele → efter en undersøgelse fra 1985, hvor Gilovich, Vallone og Tversky ledte efter serier i basketballskud og ikke fandt nogen ud over tilfældet. I 2018 viste Miller og Sanjurjo, at selve testen havde været skæv: i en kort optegnelse ligger andelen af træffere lige efter et træf i gennemsnit under skyttens samlede rate, så en spiller helt uden varm hånd ser en smule kold ud. Korrigeret viser de samme data en beskeden varm hånd. Et menneske kan komme i form; et hjul har ingen form at være i. Nogle spillere har begge overbevisninger på én gang: at en serie fortsætter, indtil den er »for lang«, og så slutter. På et fair hjul har hver version samme forventede værdimatematikForventet værdiDet gennemsnitlige resultat pr. indsats i det lange løb. −1/37 af indsatsen for enhver almindelig europæisk indsats.Læs det hele → som at vælge farve ved at kaste en mønt: −2,70% af indsatsen.
Ved et rigtigt bord
Croson og Sundali (2005) så 18 timers overvågningsvideo fra ét bord med dobbelt nulhjulNulDen ene grønne lomme, som ingen simpel chance, dusinindsats eller kolonneindsats dækker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnul, 0.Læs det hele → i et stort casino i Reno: 139 spillere, der placerede 24.131 indsatser. På de simple chancerindsatsSimpel chanceRød/sort, ulige/lige, høj/lav. 18 numre, udbetaler 1:1.Læs det hele → var spillerne nogenlunde ligeligt delt mellem at følge korte serier og at gå imod dem. Efter fem ens i træk hældede de til at gå imod serien, og efter seks eller flere lå 85% af deres indsatser på den anden side. De samme spillere udviste den varme hånd om sig selv: efter en gevinst på numrene dækkede de i gennemsnit 13,6 numre i det næste spin mod 9,2 efter et tab. Deres hjul viste intet tegn på skævhed, så intet af dette ændrede, hvad nogen af dem kunne forvente.
Uden for casinoet
Den samme tilbøjelighed viser sig, hvor der træffes virkelige beslutninger. Clotfelter og Cook (1993) fulgte Marylands daglige talspil: de penge, der blev satset på et tal, faldt kraftigt, så snart det var trukket, og det tog måneder, før de kom tilbage, selv om trækningen ingen hukommelse har. Chen, Moskowitz og Shue (2016) fandt den blandt fagfolk. Amerikanske asyldommere var op til 3,3 procentpoint mere tilbøjelige til at afvise en sag, hvis de havde givet medhold i den foregående. Baseballdommere var 1,5 point mindre tilbøjelige til at dømme strike efter at have dømt en, og mere end dobbelt så meget ved tætte kast. I et felteksperiment med kreditmedarbejdere, der fik et fast honorar, blev op til 9% af beslutningerne vendt på denne måde. Sagerne kom i tilfældig rækkefølge, så den sidste beslutning sagde intet om den næste, ligesom det sidste spin intet siger om det næste.
Spillerens omvendte fejlslutning
Filosoffen Ian Hacking (1987) navngav en tredje version. En person kommer ind i et rum, ser et par terninger lande på dobbelt sekser og slutter, at de må være blevet kastet mange gange allerede. Hvert kast giver lige så sandsynligt dobbelt sekser, hvad enten det er aftenens første eller det tusindende, så synet siger intet om, hvor længe spillet har stået på. Ved roulette er det spilleren, der kommer hen til en tavle med otte røde og beslutter, at bordet må have kørt i timevis for at frembringe dem. Den almindelige fejlslutning læser fortiden ind i det næste spin; denne læser et sjældent syn ind i en fortid, som ingen så.
En psykolog, der troede på den
Fejlslutningen har haft lærde forsvarere. Den tyske psykolog Karl Marbe gennemgik fire registre med 49.152 fødsler i hver, fandt, at den længste serie af drenge eller af piger i træk var 17, og konkluderede, at lange serier er sjældnere, end tilfældet tillader, så en serie gør det modsatte udfald mere sandsynligt. Tilfældet alene siger noget andet: blandt 196.608 fødsler dukker en serie på 17 eller mere op omkring fire gange ud af fem. Marbe havde fundet præcis det, en tilfældig række ser ud som. Epstein (2013) genfortæller sagen; Sandsynligheden for serier giver rouletteversionen.
Hvor fejlslutningen ikke gælder
Hvis hjulet var fysisk skævt, ville tidligere spin være informative, fordi de ville være belæg for noget om lommerne i stedet for om held. Det er Laboratoriets emne, og det kræver tusindvis af spin fra ét identificeret hjul, før noget kan siges. For en række på ti røde på et ukendt hjul er forklaringen med skævhed langt mindre sandsynlig end tilfældigheden.
Spørgsmål
Nej. Den gælder alle uafhængige gentagne hændelser: terninger, mønter, lotterital.
Andelene kommer tæt på hinanden. Dit resultat bliver stadig ca. −2,70% af det, du satsede.
Der findes ingen lov om gennemsnittet. Der findes de store tals lov, og den virker ved fortynding.
Leg med matematikken
Prøv selv først. Hver løsning er foldet sammen; åbn den, når du er klar.
Efter 10 kast viser en mønt 7 gange krone og 3 gange plat. Efter 1.000 kast viser den 517 gange krone og 483 gange plat. Har plat indhentet krone?
Vis løsningen
Svar Nej. Forskellen voksede fra 4 til 34. Kun forholdet kom tættere på lige.
Forholdet mellem krone og plat faldt fra 7/3, ca. 2,33, til 517/483, ca. 1,07. Det er store tals lovmatematikStore tals lovGennemsnittet af uafhængige resultater konvergerer mod den forventede værdi, når antallet af forsøg vokser.Læs det hele → i aktion.
Forskellen mellem dem voksede, fra 4 til 34. Med en fair mønt er en forskel på omkring 30 efter 1.000 kast helt almindelig: den typiske forskel vokser omtrent med kvadratroden af antallet af kast, mens forholdet nærmer sig 1.
Intet trak plat tilbage. Det tidlige overskud af krone blev udvandet af de næste 990 kast, ikke rettet op.
Kast en mønt fire gange, og se kun på de kast, der kommer lige efter krone. Hvor stor en andel af dem er krone? Regn det ud for hver af de 16 mulige rækkefølger, og tag gennemsnittet af andelene. Er det 50%?
Vis løsningen
Svar Nej. Det er 17/42, ca. 40,5%. Set på denne måde ser en fair mønt ud til at blive kold efter krone.
Skriv de 16 rækkefølger op (K for krone, P for plat). To af dem, PPPP og PPPK, har ingen krone blandt de første tre kast, så intet kast følger efter en krone; tilbage er 14.
Tag i hver af dem de kast, der følger efter en krone, og find den andel, der er krone. KKKK giver 3 ud af 3. KKKP giver 2 ud af 3. KPKP giver 0 ud af 2. Går du alle 14 igennem, giver seks rækkefølger 0, fire giver 1/2, én giver 2/3, og tre giver 1 (KKKK, PKKK og PPKK).
Læg andelene sammen: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Divider med 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Intet kast favoriserer plat; hvert er 50–50. Skævheden kommer af at tage gennemsnittet rækkefølge for rækkefølge: en rækkefølge fuld af krone har mange kast at se på, men tæller kun én gang, ligesom en rækkefølge med kun ét kast at se på. Miller og Sanjurjo (2018) viste, at undersøgelsen af den varme hånd fra 1985 havde målt sine basketballspillere på denne måde, så spillere, der ikke så ud til at have flere serier end tilfældet, faktisk havde haft noget flere.
Et komisk indslag
Fortynding, ikke udligning. Hjulet skylder intet.
Kilder
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”