Standardafvigelse
Kvadratroden af variansmatematikVariansEt mål for, hvor bredt resultaterne spreder sig omkring den forventede værdi. Høj for straight up, lav for simple chancer.Læs det hele →: den typiske afstand mellem et resultat og dets forventning.
Pr. $1 satset er σ 5,84 for en straight up og 1,00 for rød. Gang med indsatsen og med kvadratroden af antallet af spin for en session.
Tommelfingerregel
Omkring to tredjedele af sessionerne lander inden for én σ af forventningen og 95% inden for to. For 100 spin på rødindsatsRødSimpel chance på de 18 røde numre. Fransk: rouge.Læs det hele → med $10 (forventet −$27, σ = $100) falder de fleste sessioner mellem −$127 og +$73 og næsten alle mellem −$227 og +$173. Et resultat uden for dette interval er ikke belæg for noget som helst, andet end at én session ud af tyve gør det.
Hvorfor √N
Forventet tabmatematikForventet tabForventet værdi gange det samlede satsede beløb; det beløb, der i gennemsnit tabes over en session eller en periode.Læs det hele → vokser i forhold til N; spredningen vokser i forhold til √N. For lille N dominerer spredningen, og sessioner er plat eller krone med en svag hældning. For stort N løber tabet fra spredningen. Skæringspunktet, hvor det forventede tab er lig med én standardafvigelsematematikStandardafvigelseKvadratroden af variansen; et resultats typiske afstand fra den forventede værdi.Læs det hele →, ligger ved N = (σ/fordel)² = (1/0,027)² ≈ 1.370 spin for simpel chance og (5,84/0,027)² ≈ 46.800 for straight upindsatsStraight upÉt enkelt nummer, udbetaler 35:1.Læs det hele →. Under disse tal afgør held; over dem afgør fordelen.
Sådan bruger du den
For at vurdere, om en session var usædvanlig, beregn (resultat − EV)/σ. En spiller med $10 på rød, der afslutter 100 spin på +$150, ligger på (150 + 27)/100 = 1,77σ, et udfald på én ud af 25: heldigt, ikke bemærkelsesværdigt. En straight up-spiller med de samme +$150 ligger på 0,3σ: en almindelig aften. Det samme dollarresultat betyder noget forskelligt ved forskellige indsatser.
Standardfejl for en andel
Den samme regning fortæller, hvor mange spin der skal til, før du kan se fordelen i data. Standardfejlen for en observeret gevinstandel er √(p(1 − p)/N). For rød med N = 1.000: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. Forskellen mellem en fair mønt og rød er 1,35%, så efter 1.000 spin kan du stadig ikke med sikkerhed skelne dem. Efter 10.000 er standardfejlen 0,5%, og du kan. Det er også grunden til, at opdagelse af hjulskævhed kræver så mange spin.
En advarsel om skævhed i fordelingen
Resultater af straight up er langt fra normalfordelte i en kort session: de fleste sessioner er et jævnt −$10 pr. spin med enkelte spring på +$350. Reglen om ±1σ beskriver spredningen korrekt, men formen dårligt, indtil N er i hundredvis. For simple chancerindsatsSimpel chanceRød/sort, ulige/lige, høj/lav. 18 numre, udbetaler 1:1.Læs det hele → er normaltilnærmelsen god fra ca. 30 spin.
Formel
Spørgsmål
Det er bevis for, at du spillede ca. 40 sessioner, eller at du var den heldige ud af fyrre. Gentag den.
Det svinger mindre og mindre: standardfejlen for gennemsnittet er σ/√N. Ved N = 10.000 er den 1% af indsatsen.
Leg med matematikken
Prøv selv først. Hver løsning er foldet sammen; åbn den, når du er klar.
Over 100 spin på et europæisk hjul er én enhedpengeEnhedDen grundindsats, et system eller en spiller regner i. Progressioner beskrives i enheder, så de gælder ved ethvert bord.Læs det hele → på rødindsatsRødSimpel chance på de 18 røde numre. Fransk: rouge.Læs det hele → foran med mindst 51 gevinster, og én enhed på et straight upindsatsStraight upÉt enkelt nummer, udbetaler 35:1.Læs det hele → er foran, hvis dens nummer rammer mindst 3 gange. Brug klokkekurven til at anslå begge sandsynligheder, og sammenlign dem med de nøjagtige svar.
Vis løsningen
Svar Rød: klokkekurven giver 35,6%, og det nøjagtige svar er 35,5%. Straight up: klokkekurven giver 55,0%, og det nøjagtige svar er 50,9%. Genvejen virker for rød og rammer forbi for det enkelte nummer.
Rød: gevinsterne er i gennemsnit 100 × 18/37 = 48,6 med en spredning på √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. Foran betyder 51 eller flere; midtpunktet, 50,5, ligger 0,37 spredninger over gennemsnittet, og klokkekurven lægger 35,6% over det. Lægger du de nøjagtige sandsynligheder for 51, 52 … 100 gevinster sammen, får du 35,5%.
Straight up: træfferne er i gennemsnit 100/37 = 2,70 med en spredning på √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Tre eller flere træffere betyder over 2,5, 0,12 spredninger under gennemsnittet: 55,0% efter klokkekurven. Nøjagtigt er det 1 minus sandsynlighederne for 0, 1 og 2 træffere, 6,5% + 17,9% + 24,7%, hvilket efterlader 50,9%.
Klokkekurven kræver masser af resultater på begge sider af gennemsnittet. Rød har dem efter 100 spin; et nummer, der i gennemsnit rammer færre end tre gange, har ikke. Kurven giver endda 8,7% til »ingen træffer«, hvor den sande sandsynlighed er 6,5%. Taylor (2021) stiller binomialfordelingen og klokkekurven side om side på samme måde.
Et komisk indslag
Én session ud af tyve ligger uden for to sigma. Nogen er altid i halen.
Kilder
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.