Opgave: Fødselsdagshjulet
Hvor mange spin, før et nummer gentages? Langt færre, end de fleste gætter på.
Fødselsdagsproblemet på et hjul med 37 lommerudstyrLommeEt af de 37 nummererede rum på rotoren. Også: fag, skål.Læs det hele →: efter blot 8 spin er der større sandsynlighed end ikke for, at et nummer allerede er kommet to gange. Spillere læser gentagelser som mønstre; de er den forventede opførsel på et fair hjul.
Opgaven
Spin et fair europæisk hjul. Hvor mange spin går der, før sandsynlighedenmatematikSandsynlighedHvor sandsynligt et udfald er, fra 0 til 1 eller fra 0% til 100%. Ét nummer: 1/37 = 2,70%.Læs det hele → for, at mindst to spin har vist det samme nummer, overstiger en halv? De fleste spillere gætter på et sted omkring 18 eller 19, halvdelen af 37. Svaret er 8.
Løsningen
Beregn sandsynligheden for ingen gentagelse og træk den fra én. Efter k spin er p(alle forskellige) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). For k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, så p(en eller anden gentagelse) ≈ 0,56. For k = 14 er den 0,93; for k = 20 er den 0,996. Intuitionen svigter, fordi antallet af par af spin vokser som k², og ethvert par kan være ens.
Hvorfor det betyder noget ved bordet
En resultattavle med de sidste 20 numre vil næsten altid vise mindst én gentagelse, ofte to eller tre. Spillere ser »17 kom to gange på ti spin« og konkluderer, at 17 er varmt; fødselsdagsregnestykket siger, at en gentagelse inden for ti spin sker 74% af gangene, og at det gentagne nummer er tilfældigt. Mønstret er ægte; betydningen er det ikke.
Opfølgningsopgaven
Hvor mange spin, før et bestemt nummer, fx 17, er kommet to gange? Det er et andet spørgsmål med et langt større svar: den forventede ventetid er 74 spin, og sandsynligheden for to 17’ere inden for 20 spin er ca. 10%. Forskellen mellem »et nummer gentages« (8 spin) og »dette nummer gentages« (74 spin) er hele forskellen mellem et mønster, du lægger mærke til bagefter, og en forudsigelse, du laver på forhånd.
Prøv det
Kør Demospillet i ti spin og se på historikken. Der vil som regel være en gentagelse. Kør det igen. Det gentagne nummer bliver et andet. Gør det ti gange, og du har set fødselsdagsproblemetmatematikFødselsdagsproblemetHvor mange mennesker der skal til, før to sandsynligvis har fødselsdag samme dag, eller hvor mange spin der skal til, før et nummer sandsynligvis gentages. På et hjul med 37 lommer er 8 spin nok til en sandsynlighed på over halvdelen.Læs det hele →; gør det tusind gange (det kan simulatorerne), og du har målt det.
Formel
Spørgsmål
Præcis, bare med 37 lommer i stedet for 365 dage. 23 personer giver 50% for fødselsdage; 8 spin giver 56% for hjulet.
50% efter ca. 19 spin. Stadig rutine.
Nej. Tusindvis af spin fra ét hjul ville; en gentagelse gør det aldrig.
Leg med matematikken
Prøv selv først. Hver løsning er foldet sammen; åbn den, når du er klar.
En resultattavle ved siden af et amerikansk hjul viser de sidste 16 spin. Hvor sandsynligt er det, at intet nummer står der to gange?
Vis løsningen
Svar Ca. 2,5%: omtrent 39 tavler ud af 40 viser mindst én gentagelse.
Tag det spin for spin. Det første spin kan være hvad som helst. Det andet skal undgå det: 37 muligheder ud af 38. Det tredje skal undgå begge: 36 ud af 38. Det sekstende skal undgå femten numre: 23 ud af 38.
Gang: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
En tavle uden gentagelse er den sjældne. En tavle med en gentagelse siger intet om hjulet.
Hvad er sandsynligheden for, at 17 kommer præcis fem gange i ti spin på et europæisk hjul? For, at et eller andet nummer, hvilket som helst, kommer fem eller flere gange? Og for, at et eller andet nummer kommer mindst tre gange i fire spin?
Vis løsningen
Svar 17 præcis fem gange: 1 ud af 315.576. Et eller andet nummer fem eller flere gange: ca. 1 ud af 8.333. Et eller andet nummer tre eller flere gange i fire spin: 1 ud af 349.
17 fem gange: vælg, hvilke fem af de ti spin, 252 måder, hver med sandsynligheden (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Tilsammen 1 ud af 315.576.
Et eller andet nummer: hvert af de 37 numre har en sandsynlighed på 1 ud af 308.325 for fem eller flere træffere, hvilket giver 37 ud af 308.325, eller 1 ud af 8.333. Det sjældne tilfælde, hvor to numre hver har fem træffere, tælles to gange, men at trække det fra ændrer intet ved denne præcision.
Tre gange i fire spin: for ét nummer 4 × 36 + 1 = 145 af de 37⁴ mulige resultater; for et hvilket som helst af de 37 numre 145/37³ = 1 ud af 349.
Wizard of Odds besvarede disse spørgsmål for hjulet med dobbeltnulhjulNulDen ene grønne lomme, som ingen simpel chance, dusinindsats eller kolonneindsats dækker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnul, 0.Læs det hele →; vores tal for det hjul er 1 ud af 359.275, 1 ud af 9.243 og 1 ud af 368. Forskellen mellem »17« og »et eller andet nummer« er igen fødselsdagsproblemetmatematikFødselsdagsproblemetHvor mange mennesker der skal til, før to sandsynligvis har fødselsdag samme dag, eller hvor mange spin der skal til, før et nummer sandsynligvis gentages. På et hjul med 37 lommer er 8 spin nok til en sandsynlighed på over halvdelen.Læs det hele →: der er 37 måder at blive overrasket på.
Et komisk indslag
Noget gentages tidligt. Det noget er tilfældigt.
Kilder
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. »Ask the Wizard«, spørgsmål om roulette.