Opgave: Hvor længe til nul
Nul rammes ét spin ud af 37 i gennemsnit. Hvor længe venter du egentlig, og hvad gør det ved en spiller på simpel chance?
Ventetiden på nul er geometrisk: gennemsnit 37 spin, median 25, og én ventetid ud af tyve overstiger 110 spin. I en session på 200 spin forventer en spiller på simpel chance 5,4 nuller og vil se alt fra 1 til 10.
Opgaven
NulhjulNulDen ene grønne lomme, som ingen simpel chance, dusinindsats eller kolonneindsats dækker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnul, 0.Læs det hele → har sandsynlighedenmatematikSandsynlighedHvor sandsynligt et udfald er, fra 0 til 1 eller fra 0% til 100%. Ét nummer: 1/37 = 2,70%.Læs det hele → 1/37 pr. spin. (a) Hvad er sandsynligheden for intet nul i de næste 37 spin? (b) Hvad er medianventetiden? (c) Hvor mange nuller bør en spiller forvente over en session på 200 spin med simpel chance, og hvad er spændvidden?
Løsninger
(a) (36/37)³⁷ = 36,3%. Mere end en tredjedel af gangene går der 37 spin uden et eneste nul, og det er den samme regning som at »mindst én træffer på en straight upindsatsStraight upÉt enkelt nummer, udbetaler 35:1.Læs det hele → på 37 spin« kun er 63,7%. (b) Ventetiden W er geometrisk; p(W > k) = (36/37)ᵏ; medianen er det k, hvor dette krydser 0,5, og det er k ≈ 25. Halvdelen af ventetiderne er 25 spin eller kortere og halvdelen længere; gennemsnittet på 37 trækkes op af den lange hale. (c) Nuller på 200 spin er binomialfordelt med gennemsnit 200/37 = 5,4 og standardafvigelsematematikStandardafvigelseKvadratroden af variansen; et resultats typiske afstand fra den forventede værdi.Læs det hele → √(200 × (1/37) × (36/37)) ≈ 2,3. En 95%-spændvidde er nogenlunde 1 til 10.
Hvad nul koster en spiller på simpel chance
Hvert nul koster én indsats, og nuller er hele fordelen på rødindsatsRødSimpel chance på de 18 røde numre. Fransk: rouge.Læs det hele →: over 37 gennemsnitlige spin udligner de 18 gevinster og 18 tab hinanden, og det ene nul er de −1/37. I en session på 200 spin med $10 koster de forventede 5,4 nuller $54, og det er præcis 200 × $10 / 37. En session med 2 nuller har haft held for $34; en session med 9 nuller har haft uheld for $36 og vil føles manipuleret. Ved et bord med la partageregelLa partageFransk regel: når nullet kommer, returneres halvdelen af indsatsen på en simpel chance. Halverer husets fordel på de indsatser til 1,35%.Læs det hele → koster hvert nul en halv indsats, og tallene halveres.
Opfølgningen
Hvad er sandsynligheden for to nuller i træk? (1/37)² = 1/1.369. I et casino med 20 borde og 50 spin i timen er det ca. ét dobbeltnulvariantDobbeltnul00-lommen på det amerikanske hjul. Dens tilstedeværelse hæver husets fordel fra 2,70% til 5,26%.Læs det hele → et sted hver 1,4 time. Spillere, der ser det, konkluderer, at hjulet er i stykker; regnestykket siger, at det er tirsdag.
Prøv det
Sessionssimulatoren tæller nuller pr. session. Kør 100 spin et par hundrede gange og afbild antallet: histogrammet ovenfor dukker op med sin lange højre hale. Det er i halen, historierne kommer fra.
Formel
Spørgsmål
Ikke på et fair hjul. På et skævt hjullaboratoriumSkævt hjulEt hjul, hvis fysiske defekter gør nogle lommer mere sandsynlige end 1/37. Sjældent, og kan kun påvises med tusindvis af registrerede spin.Læs det hele → kunne enhver lommeudstyrLommeEt af de 37 nummererede rum på rotoren. Også: fag, skål.Læs det hele → være det, og det ville kræve tusindvis af spin at afgøre.
Det er en indsats på 2,70% som alle de andre. Den ændrer sessionens form (et nul bliver til en gevinst) og ikke prisen.
Fordi fordelingen af ventetider er skæv: mange korte ventetider og nogle få meget lange.
Et komisk indslag
Gennemsnit 37, median 25 og en lang hale, hvor legenderne bor.
Kilder
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.