Usædvanlige hjul
Hjul med 18, 25, 26, 31, 40, 49, 62, 73 eller 105 lommer. Én regel prissætter næsten dem alle: andelen af lommer, som udbetalingerne ser bort fra.
Når udbetalingerne er fastsat, som om husets lommer ikke var der, er husets fordelmatematikHusets fordelDen andel af hver indsats, casinoet i gennemsnit beholder: 2,70% i europæisk roulette.Læs det hele → husets lommer divideret med det samlede antal lommer, uanset hjulets størrelse. De fleste usædvanlige hjul følger den regel. De interessante bryder den: en afrundet udbetaling, en bonusrunde eller en indsats, der bliver stående i flere spin.
Én regel for alle hjul
Europæisk roulettevariantEuropæisk rouletteHjul med ét nul, 37 lommer, husets fordel 2,70%. Den kanoniske model på dette websted.Læs det hele → udbetaler 35 til 1, som om hjulet havde 36 lommerudstyrLommeEt af de 37 nummererede rum på rotoren. Også: fag, skål.Læs det hele →. Det har 37, og den manglende lomme er fordelen på 2,70%. Den samme regel virker på ethvert hjul: med N numre og Z huslommer har en indsats på n numre, der udbetaler (N − n)/n til 1, en fordel på Z/(N + Z). Hjul i alle størrelser er blevet bygget eller foreslået efter denne regel, og tabellen stiller dem op efter pris.
Større kan være billigere
Spillere opfatter et hjul med 62 lommer som længere odds og går ud fra, at spillet er dårligere. Fordelen afhænger kun af andelen af husets lommer. Super 62 har to nullerhjulNulDen ene grønne lomme, som ingen simpel chance, dusinindsats eller kolonneindsats dækker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnul, 0.Læs det hele → ligesom det amerikanske hjul, men de er 2 af 62 lommer i stedet for 2 af 38, så det koster 3,23% mod 5,26%. Roulette 73 med 72 numre og ét nul ville koste 1,37%, omtrent det samme som simple chancer i fransk roulette. På et lille hjul virker reglen den anden vej. Bollman viser et antikt hjul med 18 lommer, 1 til 16 plus 0 og 00. Efter reglen ville hver indsats koste 2/18, 11,11%: To huslommer er en stor andel af et lille hjul.
Hvor reglen brydes: afrunding
En udbetalingpengeUdbetalingDet, en vindende indsats giver tilbage, angivet som »X til 1« oven i den returnerede indsats.Læs det hele → skal være et fornuftigt beløb i jetonerpengeJetonEt spillemærke, der repræsenterer et fast beløb, og som placeres på tableauet for at gøre en indsats. Også: cheque.Læs det hele →, og når reglen giver en brøk, runder casinoet ned. Avenue-indsatsen i 100 To 1 Roulette dækker 15 lommer og burde udbetale 5⅔ til 1; den udbetaler 11 til 2, hvilket hæver fordelen fra 4,76% til 7,14%. På Super 62 indeholder syv numre cifferet 6 (6, 16, 26, 36, 46, 56, 60), og indsatsen på det ciffer udbetaler 7 til 1, hvilket giver 9,68%, tre gange resten af tableauetudstyrTableauDet trykte indsatsfelt på bordet. Også: bord, filt, dug.Læs det hele →. Riverboat Roulettes hvide indsats dækker 8 numre til 7 til 2; ved et bord uden jetoner til 50 cent får en gevinst på $5 udbetalt $17 i stedet for $17,50, hvilket hæver fordelen fra 5,26% til 7,37%. Den amerikanske femnummerindsats til 7,89% er det velkendte eksempel på det samme.
Hvor reglen brydes: bonusser
Fast Action Roulette, lanceret på Marina Bay Sands i 2020, kører et rigtigt hjul med fire nuller, som alene ville koste 10%. Ti bonusnumre lyser tilfældigt op ved hvert spin. En straight upindsatsStraight upÉt enkelt nummer, udbetaler 35:1.Læs det hele → udbetaler 35 til 1, 40 til 1, hvis nummeret er et bonusnummer, og 80 til 1, hvis hele dets række på fire er bonus, hvilket bringer den ned på 6,65%. Spillets tre andre indsatser koster langt mere. IGT's Double Bonus Spin tilføjer en gul bonuslomme, halvanden lomme bred, til et amerikansk hjul; når kuglenudstyrKugleDen lille kugle, der sendes ud langs banen mod rotorens omløbsretning. Moderne kugler er af ivorine eller teflon, 18–21 mm.Læs det hele → lander dér, får hver indsats to gratis spin. Efter vores beregning sænker det fordelen til mellem 1,94% (en straight up) og 2,73% (simple chancer), under det almindelige amerikanske hjul. Bollman (2021) angiver 3% til 16% for dette spil; hans forenklede formel har en algebrafejl, og for simple chancerindsatsSimpel chanceRød/sort, ulige/lige, høj/lav. 18 numre, udbetaler 1:1.Læs det hele → indebærer den, at de gratis spin taber mere end indsatsen, hvilket de ikke kan.
Hvor reglen brydes: indsatser, der bliver stående
Riverboat Roulette (2012) gav 32 numre på et amerikansk hjul en ekstra farve. Hvid markerer de fire lommer omkring hvert nul (1, 2, 9, 10, 13, 14, 27, 28). En indsats på en farvegruppe vinder, hvis et af dens numre kommer før et af de otte hvide numre. Et hvidt nummer er et »White Out«, der rydder alle farveindsatser. Ethvert andet nummer er uafgjort: indsatsen bliver stående, og mellem spinnene kan den tages ned eller forhøjes. Blågrøn dækker tre numre og udbetaler 2 til 1. Pr. afgjort indsats taber den 2/11 af indsatsen, 18,18%. Pr. spin taber den 2/38, de velkendte 5,26%, fordi den gennemsnitlige indsats bliver stående i 38/11, ca. 3,5 spin.
Et hjul, Thorp kunne forudsige: Big Six
Big Six, eller lykkehjulet, er et stort, lodret hjul med 54 felter: 24 udbetaler 1 til 1, 15 udbetaler 2 til 1, syv 5 til 1, fire 10 til 1, to 20 til 1, og to logofelter udbetaler 40 til 1. Der er intet nul; huset tager sin andel ved at udbetale for lidt, og fordelen går fra 11,1% på felterne, der udbetaler 1 til 1, til 24,1% på logoerne. I 1961 byggede Thorp et forudsigelsesapparat på størrelse med en tændstikæske til det, betjent med en tåkontakt, og i 1981, da han tog tid på én omdrejning af et casinohjul med et armbåndsur, fandt han ud af, at han som regel kunne angive stoppunktet inden for fem felter. Kun at satse på de højt udbetalende felter nær forudsigelsen ville have givet ca. +211%, hvis indsatserne blev taget imod, efter at hjulet var sat i gang. Det bliver de ikke, og hjulet drejer langsomt og fuldt synligt, så en sen indsats ville være åbenlys; Thorp skrev, at der var for lidt gang i spillet til at skjule en.
Hvorfor så få slår igennem
Et professionelt hjul koster tusindvis af dollars, og et hjul med et usædvanligt antal lommer skal laves på bestilling. De fleste nye roulettespil beholder derfor standardhjulet og tilføjer indsatser, og derfor er siden om sideindsatser længere end denne. Ørnehjulet med 31 lommer fra 1800-tallets Amerika, med 12,90% på et enkelt nummer og 9,68% på alt andet, døde af sin egen pris. Idéen om en tredje huslomme kom tilbage i 2016 på et hjul med 39 lommer, hvor den koster 7,69%.
Spørgsmål
Ikke i sig selv. Fordelen er andelen af husets lommer: 1 ud af 73 er billigere end 1 ud af 37.
Roulette 73 med 1,37%, men det er et publiceret design og ikke et bord, du sandsynligvis finder. Blandt de hjul, der har været tilbudt spillere, kommer Super 62 med 3,23% efter europæisk og fransk roulette.
En bonus skal betales, som regel med en lavere grundudbetaling eller med en separat indsats med høj fordel til huset.
Leg med matematikken
Prøv selv først. Hver løsning er foldet sammen; åbn den, når du er klar.
Royal Roulette, udviklet i Australien, har 50 lommerudstyrLommeEt af de 37 nummererede rum på rotoren. Også: fag, skål.Læs det hele →: de 48 kort fra 2 til konge plus ét es og én joker. Et enkelt kort udbetaler 47 til 1, to kort 23 til 1, tre 15 til 1, fire 11 til 1, seks 7 til 1, otte 5 til 1, tolv 3 til 1, seksten 2 til 1 og fireogtyve 1 til 1. Hvilken regel giver disse udbetalingerpengeUdbetalingDet, en vindende indsats giver tilbage, angivet som »X til 1« oven i den returnerede indsats.Læs det hele →, og hvad koster hver indsats?
Vis løsningen
Svar Hver indsats på n kort udbetaler (48 − n)/n til 1, så hver indsats koster 2/50 = 4%.
Prøv reglen på nogle få indsatser: 47/1 = 47, 36/12 = 3, 32/16 = 2, 24/24 = 1. Den passer på alle ni. Reglen prissætter hjulet, som om det havde 48 lommer, så esset og jokeren er de to huslommer, præcis som 0 og 00 er det på et amerikansk hjul.
To huslommer ud af 50 giver en fordel på 4%. En »europæisk« version fjerner jokeren og beholder udbetalingerne: én huslomme ud af 49, en fordel på 2,04%.
Super 62 har en indsats på, at et valgt ciffer optræder i vindernummeret. Design den samme indsats til et almindeligt amerikansk hjul. Hvor mange af numrene 1 til 36 indeholder hvert ciffer, og hvilke udbetalinger ville bevare de sædvanlige 5,26%?
Vis løsningen
Svar Kun cifre med 3 eller 4 numre får pæne udbetalinger (11 til 1 og 8 til 1). Cifrene 1, 2 og 3 kan ikke udbetales fair i hele jetonerpengeJetonEt spillemærke, der repræsenterer et fast beløb, og som placeres på tableauet for at gøre en indsats. Også: cheque.Læs det hele →.
Tæl numrene. Cifferet 1 optræder i 1, 10 til 19, 21 og 31: 13 numre. Cifferet 2 er også i 13 numre og cifferet 3 i 10. Cifrene 4, 5 og 6 er i fire numre hver (4, 14, 24, 34), og 7, 8 og 9 i tre hver.
En indsats på n numre bevarer den amerikanske fordel, hvis den udbetaler (36 − n)/n til 1. Det giver 8 til 1 for fire numre og 11 til 1 for tre, begge hele tal. For 13 numre giver det 23/13, ca. 1,77 til 1, og for 10 numre 2,6 til 1. Rund 1,77 ned til 7 til 4, og indsatsen koster 5,92%; rund op til 2 til 1, og spilleren har en fordel på 2,63%. At runde 2,6 ned til 5 til 2 giver 7,89%.
Cifferet 0 er et valg: 10, 20 og 30 alene udbetaler 11 til 1 ved 5,26%; tag 0 og 00 med, og det er en femnummerindsats, 6 til 1 ved 7,89%, ligesom basketindsatsBasketPå et hjul med ét nul: 0, 1, 2, 3 med én jeton, udbetaler 8:1. Også: de fire første, quatre premiers.Læs det hele →.
ciffernumrereglen sigerkunne udbetalehusets fordel1, 2131,77 til 17 til 45,92%3102,6 til 15 til 27,89%4, 5, 648 til 18 til 15,26%7, 8, 9311 til 111 til 15,26%100 To 1 Roulette udbetaler (100 − n)/n til 1 på de fleste indsatser på et hjul med 100 numre og 5 hussymboler. Indsatserne dækker 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20 eller 50 lommer og udbetaler 100, 49, 32, 24, 19, 9, 11 til 2, 4 og 1 til 1. Straight upindsatsStraight upÉt enkelt nummer, udbetaler 35:1.Læs det hele → og Avenue med 15 lommer bryder reglen. Hvilken anden indsats gør, og hvad koster den?
Vis løsningen
Svar Indsatsen på tre lommer: reglen siger 32⅓ til 1, den udbetaler 32 til 1 og koster 5,71% i stedet for 4,76%.
Tjek hver udbetaling mod reglen: 98/2 = 49, 96/4 = 24, 95/5 = 19, 90/10 = 9, 80/20 = 4 og 50/50 = 1 passer alle. For tre lommer giver reglen 97/3 = 32⅓, som ingen jeton kan udbetale, så den rundes ned til 32.
Indsatsen vinder 3 gange på 105 spin og giver så 33 enhederpengeEnhedDen grundindsats, et system eller en spiller regner i. Progressioner beskrives i enheder, så de gælder ved ethvert bord.Læs det hele → tilbage, indsatsen medregnet: 3 × 33 = 99 enheder tilbage for hver 105 satsede, et tab på 6/105 = 5,71%.
Roulette 73, et publiceret design, har 72 numre og ét nulhjulNulDen ene grønne lomme, som ingen simpel chance, dusinindsats eller kolonneindsats dækker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnul, 0.Læs det hele →, og hver indsats udbetaler (72 − n)/n til 1. Dets 24 grå numre kan dækkes med 14 jetoner: 4 straight up og 10 splitsindsatsSplitTo nabonumre, udbetaler 17:1.Læs det hele →. Hvad koster den indsats på 14 jetoner?
Vis løsningen
Svar 1,37% af de 14 jetoner, ligesom hver anden indsats på det hjul.
Den lange vej: en straight up udbetaler 71 til 1 og et split 35 til 1. Hvis et af de 4 straight up-numre kommer, vinder du 71 og taber de andre 13 jetoner: +58. Hvis et af de 20 split-numre kommer: +35 − 13 = +22. På de øvrige 49 lommer taber du alle 14. I gennemsnit over 73 spin: 4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14 enheder, hvilket er 1/73 af hver jeton.
Den korte vej: forventede værdiermatematikForventet værdiDet gennemsnitlige resultat pr. indsats i det lange løb. −1/37 af indsatsen for enhver almindelig europæisk indsats.Læs det hele → lægges sammen. Hver jeton er en almindelig indsats, der taber 1/73 af sig selv, så 14 jetoner taber 14/73. At kombinere indsatser ændrer, hvordan resultaterne fordeler sig, aldrig hvad de koster.
Super 62 har 60 numre, 0 og 00 og udbetaler (60 − n)/n til 1. Dets designere tegnede det også med én, tre og fire huslommer. Alphabetic Roulette udbetaler (24 − n)/n til 1 på 25 lommer og har en variant med Y og Z i hver sin lomme. Prissæt alle fem.
Vis løsningen
Svar Med ét til fire nuller: 1,64%, 3,23%, 4,76% og 6,25%. Alphabetic med Y og Z hver for sig: 7,69%.
Hvert af disse hjul beholder sine udbetalinger og ændrer kun antallet af huslommer, så husets fordel er huslommer ÷ alle lommer.
Ét nul, 61 lommer: 1/61 = 1,64%. To, 62 lommer: 2/62 = 3,23%. Tre, 63 lommer: 3/63 = 4,76%. Fire, 64 lommer: 4/64 = 6,25%. Hvert ekstra nul koster ca. halvandet procentpoint.
Alphabetic udbetaler, som om det havde 24 bogstaver. Når Y og Z deler en lomme, har huset 1 ud af 25, 4%. Med Y og Z hver for sig har det 2 ud af 26, 7,69%, lige så meget som et hjul med tredobbelt nul. At dele én lomme i to fordoblede næsten prisen.
hjullommerhuslommerhusets fordel60 numre, ét nul6111,64%Super 626223,23%60 numre, tre nuller6334,76%Super 646446,25%Alphabetic2514,00%Alphabetic, Y og Z hver for sig2627,69%Et antikt hjul har 18 lommer: 1 til 16, 0 og 00. Ulige numre og 0 er rødeindsatsRødSimpel chance på de 18 røde numre. Fransk: rouge.Læs det hele →, lige numre og 00 sorteindsatsSortSimpel chance på de 18 sorte numre. Fransk: noir.Læs det hele →, og de 16 numre ligger på et tableauudstyrTableauDet trykte indsatsfelt på bordet. Også: bord, filt, dug.Læs det hele → på 4 gange 4. Lav en udbetalingstabelpengeUdbetalingstabelListen over, hvad hver indsats eller hvert resultat udbetaler. På maskiner og sideindsatser er det dér, husets fordel fastsættes.Læs det hele →, der giver hver indsats den samme fordel. Og hvorfor skal 0 få en indsats på rød til at tabe, selv om nullet er rødt?
Vis løsningen
Svar Udbetal (16 − n)/n til 1: 15 til 1 på ét nummer, 7 på to, 3 på fire, 1 på otte. Hver indsats koster 11,11%. Hvis 0 vandt indsatsen på rød, ville rød være en fair indsats.
Prissæt hjulet, som om 0 og 00 ikke var der. En indsats på n numre vinder n gange ud af 18 og udbetaler (16 − n)/n til 1, så den giver 16 enheder tilbage, indsatsen medregnet, for hver 18 satsede. Hver indsats koster 2/18, 11,11%.
Tableauets naturlige indsatser går op i hele tal: ét nummer 15 til 1, to ved siden af hinanden 7 til 1, en række eller en kolonneindsatsKolonneTolv numre i én lodret kolonne på tableauet, udbetaler 2:1.Læs det hele → på fire 3 til 1, og to rækker eller de otte ulige, lige, lave eller høje numre 1 til 1. En indsats på tre numre ville kræve 4⅓ til 1; rundet ned til 4 til 1 koster den 16,67%.
Rød dækker de otte ulige numre. Hvis 0, som er rødt, også vandt indsatsen på rød, ville rød dække 9 af de 18 lommer til 1 til 1: et fair spilmatematikFair spilEt spil, hvor ingen af siderne har en fordel: hver indsats har en forventet værdi på nul.Læs det hele → helt uden fordel. Huslommerne tjener kun deres fordel ved at få hver indsats til at tabe, undtagen en indsats på dem selv.
Et komisk indslag
Tæl husets lommer, og kig så efter afrundingen.
Kilder
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”