Konvergens i det lange løb
Hvordan gennemsnittet lander mod −2,70%, og hvorfor det tager længere tid, end intuitionen siger.
Det gennemsnitlige tab pr. spin konvergerer mod −1/37, efterhånden som spin hobes op, med en spredning, der skrumper som 1/√N. Efter 1.000 spin på rød ligger gennemsnittet typisk inden for ±3% af sin forventning.
Store tals lov
Det løbende gennemsnit af uafhængige indsatser går mod den forventede værdimatematikForventet værdiDet gennemsnitlige resultat pr. indsats i det lange løb. −1/37 af indsatsen for enhver almindelig europæisk indsats.Læs det hele →. Efter N spin med simpel chance og én enhedpengeEnhedDen grundindsats, et system eller en spiller regner i. Progressioner beskrives i enheder, så de gælder ved ethvert bord.Læs det hele → har gennemsnitsresultatet pr. spin forventningen −1/37 og standardafvigelsenmatematikStandardafvigelseKvadratroden af variansen; et resultats typiske afstand fra den forventede værdi.Læs det hele → 1/√N. Ved N = 100 er den spredning 10% af indsatsen, næsten fire gange signalet på 2,7%. Ved N = 1.000 er den 3,2%, omtrent som signalet. Ved N = 10.000 er den 1%, og fordelen er tydeligt synlig. Fordelen er usynlig i en session og umiskendelig over et år.
Hvad der konvergerer, og hvad der ikke gør
Gennemsnittet pr. spin konvergerer. Totalen gør ikke: den driver længere væk fra nul, jo større N bliver, med ca. 2,7% af N i forventning og en spredning på √N omkring det. En spiller, der har spillet 10.000 spin med $10, forventes at være nede $2.700, plus/minus $1.000. Den løbende andel af rødeindsatsRødSimpel chance på de 18 røde numre. Fransk: rouge.Læs det hele → har for længst lagt sig nær 48,65%; den løbende saldo har ikke lagt sig nogen steder.
- p10 −$440
- p25 −$280
- median −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Hvorfor intuitionen svigter
Folk venter, at fordelen viser sig hurtigt, fordi 2,70% lyder af meget, og venter, at lange serier »udligner sig«, fordi de store tals lovmatematikStore tals lovGennemsnittet af uafhængige resultater konvergerer mod den forventede værdi, når antallet af forsøg vokser.Læs det hele → siger, at gennemsnit konvergerer. Begge intuitioner misvurderer skalaen: fordelen er lille i forhold til variansenmatematikVariansEt mål for, hvor bredt resultaterne spreder sig omkring den forventede værdi. Høj for straight up, lav for simple chancer.Læs det hele → for ét enkelt spin (σ = 1 enhed mod EV = 0,027), så det tager (1/0,027)² ≈ 1.400 spin, før den bliver synlig på ét sigma. Og gennemsnittets konvergens trækker ikke totalen tilbage; den fortynder blot tidligere udsving.
Konvergens for andre indsatser
For straight upindsatsStraight upÉt enkelt nummer, udbetaler 35:1.Læs det hele → er σ = 5,84, så den samme beregning giver (5,84/0,027)² ≈ 47.000 spin, før fordelen når ét sigma. En straight up-spiller kan spille i årevis, uden at fordelen kan skelnes fra held i vedkommendes egne optegnelser, mens vedkommende betaler nøjagtig de samme 2,70% som rød-spilleren, der ser den inden for uger.
Konsekvens for test af systemer
Enhver, der påstår, at et system virker, bør kunne vise det over 10.000 spin eller flere med et dokumenteret positivt gennemsnit. Ved 1.000 spin er et positivt gennemsnit på simpel chance en begivenhed på én ud af fem under nulhypotesen; ved 100 spin er det næsten plat eller krone. Simulatorerne på dette websted kører 2.000 sessioner af den længde, du vælger, på et sekund, og det er mere belæg end nogen udtalelse.
Formel
Spørgsmål
SandsynlighedenmatematikSandsynlighedHvor sandsynligt et udfald er, fra 0 til 1 eller fra 0% til 100%. Ét nummer: 1/37 = 2,70%.Læs det hele → for nogensinde at være i plus igen falder mod nul, jo mere du spiller. Totalen driver nedad uden grænse.
Nej. Det betyder, at tidligere udsving bliver en mindre andel af en større stikprøve.
For simpel chance ca. 10.000, før fordelen er tydeligt synlig. For straight up ca. 50.000.
Leg med matematikken
Prøv selv først. Hver løsning er foldet sammen; åbn den, når du er klar.
To venner spiller 20 runder af et fair spilmatematikFair spilEt spil, hvor ingen af siderne har en fordel: hver indsats har en forventet værdi på nul.Læs det hele →, et møntkast eller rødindsatsRødSimpel chance på de 18 røde numre. Fransk: rouge.Læs det hele → mod sortindsatsSortSimpel chance på de 18 sorte numre. Fransk: noir.Læs det hele → med nullernehjulNulDen ene grønne lomme, som ingen simpel chance, dusinindsats eller kolonneindsats dækker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnul, 0.Læs det hele → tilbagebetalt, og fører løbende regnskab. Tæl de runder, hvor hver af dem fører (uafgjort tæller for den, der førte lige før). Hvad er mest sandsynligt: at føringen deles 10 runder mod 10, eller at den ene ven fører i alle 20?
Vis løsningen
Svar At den ene ven fører i alle 20 runder, er langt mere sandsynligt: 35,2%, når begge venner tælles med, mod 6,1% for ligelige 10 mod 10.
Sandsynligheden for, at et fair løbende regnskab står lige efter 2k runder, er u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 efter 10 runder og 0,176 efter 20. Et klassisk resultat, arcsinusloven, siger, at sandsynligheden for, at én bestemt ven fører i præcis 2k af 2n runder, er u(2k) × u(2n − 2k).
Føring i alle 20: u(20) × u(0) = 0,176 for hver ven, 35,2% for den ene eller den anden. En ligelig deling: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, den mindst sandsynlige fordeling af alle.
I et fair spil skifter føringen altså sjældent hænder. En spiller, der har været foran hele aftenen eller bagud hele aftenen, har ikke set noget usædvanligt, og det siger intet om hjulet eller om dygtighed. Epstein (2013) giver den samme lov for længere spil: halvdelen af tiden fører den heldigste side i mere end 85% af spillet.
Et komisk indslag
Gennemsnittet konvergerer. Totalen går bare sin vej.
Kilder
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.