Opgave: Bordgrænsen
En Martingale på $10 ved et bord med grænse $500. Hvor ofte knækker den, hvor meget taber den, når den gør, og hjælper det at hæve grænsen?
Seks tab i træk knækker den: 1,8% pr. cyklus, ca. 60% af sessioner på 100 spin. Knækket koster $630. Hæver du grænsen til $5.000, bliver knækket sjældnere (0,25% pr. cyklus) og større ($5.110). Det forventede tab pr. dollar satset er 2,70% ved enhver grænse.
Opgaven
En spiller satser $10 på rødindsatsRødSimpel chance på de 18 røde numre. Fransk: rouge.Læs det hele → og fordobler efter hvert tab og starter forfra efter en gevinst. Bordets maksimum er $500. (a) Hvor mange tab i træk knækker progressionenstrategiProgressionEnhver regel, der ændrer indsatsen på grundlag af tidligere resultater. Negative progressioner hæver den efter tab, positive efter gevinster.Læs det hele →? (b) Hvad er sandsynlighedenmatematikSandsynlighedHvor sandsynligt et udfald er, fra 0 til 1 eller fra 0% til 100%. Ét nummer: 1/37 = 2,70%.Læs det hele → pr. cyklus? (c) Hvad er tabet ved knækket? (d) Hvordan ændrer en grænse på $5.000 svarene? (e) Gør nogen grænse systemet rentabelt?
Løsninger (a)–(c)
Indsatser: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Den syvende ville være 640 > 500, så seks tab knækker den. (b) p(tab) = 19/37 på rød; (19/37)⁶ = 0,0183, ca. 1,8% pr. cyklus. En cyklus varer i gennemsnit ca. to spin, så en session på 100 spin har ca. 50 cyklusser og p(mindst ét knæk) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, det vil sige 63 enhederpengeEnhedDen grundindsats, et system eller en spiller regner i. Progressioner beskrives i enheder, så de gælder ved ethvert bord.Læs det hele → af grundindsatsen, mod de $10, cyklussen forsøgte at vinde.
Løsning (d)
Ved $5.000: indsatser op til 2.560 er tilladt; den tiende indsats, 5.120, afvises. Ni tab knækker den: (19/37)⁹ ≈ 0,25% pr. cyklus, ca. 11% af sessioner på 100 spin. Tab ved knækket: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Spilleren har købt en sjældnere katastrofe til prisen af en større. Over mange sessioner er de forventede omkostninger ved knæk p × tab ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 pr. cyklus ved grænsen på $500 og 0,0025 × 5.110 = $12,8 ved $5.000; det er, afrundingen tillagt, det samme tal, og det er cyklussens forventede tabmatematikForventet tabForventet værdi gange det samlede satsede beløb; det beløb, der i gennemsnit tabes over en session eller en periode.Læs det hele → minus de $10, de vindende cyklusser indtjener.
Løsning (e)
Nej. Forventet tab pr. cyklus = (forventet samlet indsats i cyklussen) / 37, ved enhver grænse, fordi hver indsats er −1/37 af sig selv. Grænsen afgør kun, hvordan tabet fordeler sig mellem mange små gevinster og få store tab. Uden grænse og med en uendelig bankrollpengeBankrollDet samlede beløb, der er sat af til spil. Bankrollstyring er at beslutte, hvor meget af det du vil risikere pr. indsats og pr. session.Læs det hele → ville progressionen »virke« i den forstand, at den aldrig knækkede, og den ville også satse et ubegrænset beløb med et forventet tab på 2,70% af det ubegrænsede beløb. BordgrænsenbordBordgrænseDen tilladte minimums- og maksimumsindsats. Maksimum er det, der stopper fordoblingsprogressioner.Læs det hele → er ikke det, der forhindrer MartingalestrategiMartingaleProgression, der fordobler indsatsen efter hvert tab. Se sektionen Strategi for, hvad den gør og ikke gør.Læs det hele → i at virke. Regnestykket er.
To virkelige borde
Thorps eksempel er et bord med $1 som minimum og $1.000 som maksimum, hvor en spiller håber at vinde $30 til middagen, én dollar ad gangen. Indsatserne 1, 2, 4 … 512 giver ti indsatser, så ti tab i træk knækker progressionen: én gang i 785 cyklusser på et europæisk hjul (én gang i 613 på et amerikansk), til en pris af $1.023. Alle tredive cyklusser lykkes 96,2% af gangene. De øvrige 3,8% taber ca. $1.000, og aftenens gennemsnitlige resultat er −$9,17, hvilket er præcis 1/37 af de $339, som de tredive cyklusser i gennemsnit satser. Et bord med $5 som minimum og $2.000 som maksimum er ikke anderledes: indsatser op til $1.280 giver ni indsatser, og knækket kommer én gang i 403 cyklusser på et europæisk hjul (én gang i 323 på et amerikansk) og koster $2.555.
En rig spiller
Giv progressionen en dyb bankroll i stedet for en lav grænse: 1.000 enheder, en grundindsats på én enhed og 1.000 spin på rød, og begynd forfra med én enhed, hver gang den næste fordobling er større end det, der er tilbage. Vi simulerede en million af den slags aftener. På et europæisk hjul slutter 52% i plus, 21% taber det hele, og det gennemsnitlige resultat er −124 enheder. Selv i et spil uden nulhjulNulDen ene grønne lomme, som ingen simpel chance, dusinindsats eller kolonneindsats dækker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnul, 0.Læs det hele →, hvor hver indsats er fair, ville kun ca. 60% slutte i plus. Den typiske aften giver en lille gevinst; gennemsnittet betales af de aftener, der ender på nul.
Lærdommen
Casinoer sætter grænser for at begrænse deres egen variansmatematikVariansEt mål for, hvor bredt resultaterne spreder sig omkring den forventede værdi. Høj for straight up, lav for simple chancer.Læs det hele →, ikke for at slå systemer. At slå Martingale er en bivirkning, de gerne tager med, og regnestykket ville slå den alligevel. En spiller, der tror, at grænsen er problemet, har fundet afgrunden og forvekslet den med skråningen.
Formel
Spørgsmål
Den lader dig overleve til en højere grænse, hvor knækket er sjældnere og større. Det forventede tab pr. dollar er uændret.
Indsatser 10, 30, 70, 150, 310: grænsen på $500 nås efter fem tab, og knækket koster $570. Samme 2,70%.
Så en enkelt spiller ikke kan satse mere, end casinoets reserve uden besvær kan udbetale. Variansstyring.
Leg med matematikken
Prøv selv først. Hver løsning er foldet sammen; åbn den, når du er klar.
En MartingalestrategiMartingaleProgression, der fordobler indsatsen efter hvert tab. Se sektionen Strategi for, hvad den gør og ikke gør.Læs det hele → starter på $100 på rødindsatsRødSimpel chance på de 18 røde numre. Fransk: rouge.Læs det hele → og tillader sig højst n indsatser pr. cyklus: efter n tab i træk giver den op og starter forfra. Skriv det gennemsnitlige resultat af én cyklus som en formel i n, og regn det ud for 5, 6 og 7 indsatser på et europæisk hjul.
Vis løsningen
Svar Gennemsnittet er 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 for 5 indsatser, −$17,35 for 6 og −$20,52 for 7. Flere tilladte indsatser gør den gennemsnitlige cyklus dårligere, ikke bedre.
En cyklus vinder $100, medmindre alle n indsatser taber, hvilket sker med sandsynligheden qⁿ, hvor q = 19/37. Når de alle taber, giver indsatserne 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ tilsammen 100 × (2ⁿ − 1). Så gennemsnittet er 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Her er 2q = 38/37, lidt mere end 1, så (2q)ⁿ vokser med n, og gennemsnittet falder: n = 5 giver 1,1426 og −$14,26; n = 6 giver 1,1735 og −$17,35; n = 7 giver 1,2052 og −$20,52. En længere stige taber sjældnere, i 3,6%, 1,8% og 0,9% af cyklusserne, men hvert tab er dobbelt så stort, og der går flere penge over bordet i hver cyklus, med 2,70% af hver indsats.
På et amerikansk hjul er 2q = 40/38, og tallene er −$29,24, −$36,04 og −$43,20 (Taylor, 2021). I et spil uden nulhjulNulDen ene grønne lomme, som ingen simpel chance, dusinindsats eller kolonneindsats dækker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnul, 0.Læs det hele → er 2q = 1, og hver cyklus giver i gennemsnit præcis nul, uanset hvor lang stigen er.
En »grand Martingale« fordobler indsatsen efter et tab og lægger én enhedpengeEnhedDen grundindsats, et system eller en spiller regner i. Progressioner beskrives i enheder, så de gælder ved ethvert bord.Læs det hele → til, så indsatserne bliver 1, 3, 7, 15, 31 … Hvor meget er du i plus, når den første gevinst kommer ved 1., 2., 3. eller k'te indsats? Med en enhed på $10 og et maksimum på $500, hvor ofte bryder en cyklus sammen, og hvad koster en cyklus i gennemsnit?
Vis løsningen
Svar En gevinst ved den k'te indsats giver dig k enheder i plus: +1, +2, +3 og så videre. Ved $10 og $500 bryder cyklussen sammen efter fem tab, i 3,57% af cyklusserne, for −$570. I gennemsnit taber en cyklus $2,32 ud af $85,73 satset: 2,70%.
Den k'te indsats er 2ᵏ − 1 enheder: 1, 3, 7, 15, 31. De første k − 1 indsatser giver tilsammen 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. En gevinst ved den k'te indsats udbetaler 2ᵏ − 1, så cyklussen slutter (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k enheder i plus: én ekstra enhed for hvert tab før gevinsten.
Ved $10 pr. enhed er indsatserne $10, $30, $70, $150 og $310; den næste, $630, er over maksimum på $500. Fem tab i træk, (19/37)⁵ = 3,57%, koster 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Gennemsnit: gevinsterne indbringer $10 × k med sandsynligheden (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 for k = 1 til 5, og sammenbruddet tager $570 med sandsynligheden 3,57%; tilsammen −$2,32. Det satsede beløb er i gennemsnit $85,73 pr. cyklus, og 2,32/85,73 = 2,70%. Den almindelige Martingale ved samme bord bryder sammen efter seks tab, i 1,83% af cyklusserne, for −$630, og taber $1,74 ud af $64,20 satset: 2,70% igen.
En spiller planlægger en Martingale på rød med en første indsats på $1 ved et bord, hvis grænse er $1.000, så ti indsatser er mulige: $1, $2, $4 og så videre op til $512. Hvor ofte taber en cyklus alle ti, hvor lang tid går der i gennemsnit, før det sker, og hvor ofte ender en aften med 200 indsatser sådan?
Vis løsningen
Svar En cyklus taber alle ti ca. én gang ud af 784, og det koster $1.023. Det svarer til ca. 1.600 indsatser i gennemsnit, og en aften med 200 indsatser rammer muren ca. 11% af gangene. En cyklus taber stadig $0,31 i gennemsnit af $11,31 satset: 2,70%.
En indsats på rød taber med sandsynligheden 19/37, nullet medregnet. Ti i træk: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, ca. 1 ud af 784. Indsatserne 1 + 2 + 4 + … + 512 giver tilsammen $1.023.
En cyklus varer i gennemsnit 2,05 indsatser, så 784 cykler tager ca. 1.600 indsatser. Talt spin for spin dukker en række på ti tab op et sted i 200 indsatser 11,3% af gangene.
Mellem katastroferne vinder spilleren $1 pr. cyklus: ca. $783 før den dårlige, derefter −$1.023, ca. −$240 over hele strækningen. Pr. cyklus: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Satset pr. cyklus: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Og −0,31/11,31 = −2,70%.
Sammenlign med en første indsats på $10 ved en grænse på $500, seks indsatser: muren kommer én gang ud af 55 cykler, og en aften med 200 indsatser møder den 84% af gangene. En højere grænse gør krakket sjældnere og større, ikke billigere.
Et komisk indslag
Sjældnere og større, ved enhver grænse. Produktet er konstant.
Kilder
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.