Ruinrisiko

Spørgsmålet

Du har a enhederpengeEnhedDen grundindsats, et system eller en spiller regner i. Progressioner beskrives i enheder, så de gælder ved ethvert bord.Læs det hele → af bankrollpengeBankrollDet samlede beløb, der er sat af til spil. Bankrollstyring er at beslutte, hvor meget af det du vil risikere pr. indsats og pr. session.Læs det hele → og vil nå a + b enheder ved at satse én enhed ad gangen på en simpel chanceindsatsSimpel chanceRød/sort, ulige/lige, høj/lav. 18 numre, udbetaler 1:1.Læs det hele → med gevinst-sandsynlighedmatematikSandsynlighedHvor sandsynligt et udfald er, fra 0 til 1 eller fra 0% til 100%. Ét nummer: 1/37 = 2,70%.Læs det hele → p = 18/37 og tabssandsynlighed q = 19/37. Hvad er sandsynligheden for, at du når målet, før du når nul? Svaret blev regnet ud af Pascal, Fermat og Huygens i 1650’erne og er et af de ældste resultater i sandsynlighedsregningen.

Blaise Pascal

Formlen for spillerens ruin

P(nå målet) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). RuinrisikoenmatematikRuinrisikoSandsynligheden for at tabe hele sin bankroll, før et mål eller et antal spin er nået.Læs det hele → er én minus det. Med q/p = 19/18 ≈ 1,0556 vokser forholdet eksponentielt i antallet af enheder, så formlen straffer små enheder hårdt: jo flere indsatser der skal til for at nå målet, jo flere gange betales afgiften på 2,70% undervejs.

Sådan læses den

Mindre enheder skader. At forsøge at fordoble $500 med indsatser på $10 lykkes 6% af gangene; med én enkelt indsats på $500 lykkes det 48,6% af gangene. Dristigt spil, færre og større indsatser, maksimerer sandsynligheden for at ramme et mål i et spil med negativ forventning, fordi det minimerer antallet af gange, fordelen anvendes. Det maksimerer også variansenmatematikVariansEt mål for, hvor bredt resultaterne spreder sig omkring den forventede værdi. Høj for straight up, lav for simple chancer.Læs det hele → i det, der sker med dig, og det slutter aftenen hurtigt. Sætningen hedder »dristigt spil er optimalt«, og den blev bevist af Dubins og Savage i 1965.

Hvor problemet begyndte

Spørgsmålet er ældre end roulette. I 1656 stillede Pascal Fermat en opgave: to spillere kaster tre terninger og starter hver med 12 brikker; et kast på 11 flytter en brik den ene vej, et kast på 14 den anden. Begge løste den, og Huygens, der hørte om den gennem et brev fra matematikeren Pierre de Carcavi, trykte den i 1657 som den femte opgave i den første bog om sandsynlighed, med svaret og uden bevis. Elleve kan slås på 27 måder og fjorten kun på 15, så hver brik flytter sig til den første spillers fordel 9 gange ud af 14, og formlen ovenfor, med 12 brikker hver, gør det ca. 1.157 gange mere sandsynligt, at han vinder det hele, end at han taber det hele. En fordel på 2,70% er langt mindre, men den samme formel viser, hvad den gør over mange indsatser.

Et virkeligt dristigt spil

I april 2004 solgte Ashley Revell, en ung englænder, næsten alt, hvad han ejede, også sit tøj, og tog $135.300 med til Plaza i Las Vegas. Efter nogle små indsatser satte han hele beløbet på rødindsatsRødSimpel chance på de 18 røde numre. Fransk: rouge.Læs det hele →, én gang. KuglenudstyrKugleDen lille kugle, der sendes ud langs banen mod rotorens omløbsretning. Moderne kugler er af ivorine eller teflon, 18–21 mm.Læs det hele → landede på rød 7, og han gik derfra med $270.600. På et hjul med dobbeltnulhjulNulDen ene grønne lomme, som ingen simpel chance, dusinindsats eller kolonneindsats dækker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnul, 0.Læs det hele → gav det ene spin ham en sandsynlighed på 47,37% og kostede ham i gennemsnit $7.121, husets fordel på 5,26% på én indsats. Fordelt på indsatser på $10 ville det samme mål have været næsten håbløst. Dristigt spil gør ikke indsatsen god; det gør den så kort som muligt.

Ruinrisiko uden mål

Hvis du blot spiller, til du går bankerot, eller stopper efter N spin, bliver spørgsmålet: »Hvad er sandsynligheden for, at min bankroll rammer nul inden for N spin?« Der findes ingen lukket formel for et generelt N, men simulatorerne på dette websted beregner den: en bankroll på $500 med $10 på rød går næsten aldrig bankerot på 100 spin (under 1%), går bankerot ca. 9% af gangene på 500 spin og ca. 95% af gangene på 5.000. Uden en stopregel går sandsynligheden mod 100%, og det er den version af husets fordelmatematikHusets fordelDen andel af hver indsats, casinoet i gennemsnit beholder: 2,70% i europæisk roulette.Læs det hele →, der gælder i det lange løb.

Konvergens i det lange løb

Hvor længe, og hvor langt i plus

To andre klassiske resultater besvarer spørgsmål, som spillere faktisk stiller. Uden mål holder faste indsatser på simple chancer i gennemsnit 37 spin for hver enhed i bankroll på et europæisk hjul og 19 på et amerikansk, fordi hvert spin i gennemsnit tager 1/37 af en enhed (1/19 på et amerikansk hjul): 100 enheder holder i gennemsnit 3.700 spin, selv om halvdelen af den slags sessioner er slut inden for 3.134 (se Sessionslængde og pris). Og uanset hvor stor bankrollen er, er sandsynligheden på et europæisk hjul for nogensinde at være k enheder i plus (18/19)ᵏ. Det er 95% for én enhed og 58% for ti, men ingen bankroll, hvor dyb den end er, giver en sandsynlighed på mindst halvdelen for nogensinde at være 13 enheder i plus; på et amerikansk hjul er sandsynligheden (9/10)ᵏ og falder under halvdelen ved 7 enheder.

Sessionslængde og prisAmerikansk roulette

En bankroll til en fifty-fifty-chance

Vend spørgsmålet om: hvor meget skal du have med, for at det er mindst lige så sandsynligt, at du vinder et givet beløb, som at du taber alt først? For en lille gevinst ikke meget. For en større stiger den nødvendige bankroll stejlt, og forbi et vist punkt er ingen bankroll nok, for selv med en uendelig bankroll er det mindre sandsynligt end ikke, at du nogensinde kommer så langt i plus. Taylor (2021) siger det på en anden måde: på et amerikansk hjul skal du starte med 94 for at have fifty-fifty for at nå 100 enheder, så du risikerer 94 for at vinde 6. På et europæisk hjul skal du bruge 88.

Den praktiske lærdom

Beslut, hvad du vil. Hvis målet er en bestemt gevinst, så sats stort og få gange. Hvis målet er en lang aften, så sats småt og accepter, at fordelen tager sine 2,70% af en stor omsætningpengeOmsætningDet samlede satsede beløb over en session eller en periode, inklusive gevinster, der satses igen. Også: handle, action.Læs det hele →. Hvis målet er begge dele, må noget give efter, og det er som regel målet.

Formel

Spørgsmål