Sandsynligheden for serier
Lange rækker af samme farve er almindelige. De siger også ingenting om det næste spin.
Fem røde i træk: 2,7%. Ti: 0,074%. I en session på 200 spin optræder en række på seks af samme farve oftere, end den ikke gør.
Hvor ofte en tabsserie kommer
En simpel chance på et hjul med ét nul taber 19 spin ud af 37. Hver række viser sandsynligheden for, at et givet antal spin i træk alle taber, og hvad en Martingale-spiller, som fordobler efter hvert tab, har tabt på det tidspunkt.
| tab i træk | sandsynlighed | cirka 1 ud af | tabt indtil nu | næste indsats |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1.023 | $1.024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2.047 | $2.048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4.095 | $4.096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8.191 | $8.192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16.383 | $16.384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32.767 | $32.768 |
Sandsynligheden er 19/37 ganget med sig selv én gang pr. tab, regnet fra ét givet spin. En lang session har mange spin, hvor sådan en serie kan begynde, så i løbet af en aften er den langt mere sandsynlig, end én række antyder.
Én række
SandsynlighedenmatematikSandsynlighedHvor sandsynligt et udfald er, fra 0 til 1 eller fra 0% til 100%. Ét nummer: 1/37 = 2,70%.Læs det hele → for, at de næste k spin alle er rødeindsatsRødSimpel chance på de 18 røde numre. Fransk: rouge.Læs det hele →, er (18/37)ᵏ. To: 23,7%. Fem: 2,7%. Ti: 0,074%, ca. 1 ud af 1.350. Tyve: 1 ud af 1,8 millioner. Seksogtyve, rekorden fra Monte Carlo: 1 ud af 137 millioner. Det er sandsynligheden for en bestemt række, der starter på et bestemt spin, og det er det spørgsmål, næsten ingen faktisk stiller.
I en session
Det spørgsmål, folk mener, er »optræder der en række på k et sted i min session?«, og svaret er langt større end (18/37)ᵏ, fordi en session på 200 spin giver næsten 200 steder, hvor en række kan starte. En række på seks eller flere af samme farve, rød eller sortindsatsSortSimpel chance på de 18 sorte numre. Fransk: noir.Læs det hele →, dukker op i en session på 200 spin i ca. 94% af tilfældene; otte eller flere i ca. 47%; ti eller flere i ca. 14%. Udpeg farven på forhånd, og sandsynlighederne falder til ca. 75%, 27% og 7%. En spiller, der sidder en hel aften, vil se lange rækker hver aften.
Hvorfor Martingale bekymrer sig
Hver negativ progressionstrategiProgressionEnhver regel, der ændrer indsatsen på grundlag af tidligere resultater. Negative progressioner hæver den efter tab, positive efter gevinster.Læs det hele → har en rækkelængde, der knækker den: seks tab fra en grundindsats på $10 ved en grænse på $500, ti for FibonaccistrategiFibonacciProgression, der følger talrækken 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: ét trin frem efter et tab, to trin tilbage efter en gevinst.Læs det hele →, fem for tredobling på dusinerindsatsDusin1–12, 13–24 eller 25–36, udbetaler 2:1.Læs det hele →. Sandsynligheden for en tabsserie på seks på simpel chance er (19/37)⁶ ≈ 1,8% pr. forsøg, og en session på 200 spin rummer måske 100 forsøg, så knækket kommer i ca. fire ud af fem sessioner af den længde. Sandsynligheden for serier er grunden til, at afgrunden ikke er sjælden.
Varme og kolde numre
Den samme regning gælder for straight upindsatsStraight upÉt enkelt nummer, udbetaler 35:1.Læs det hele →. I 300 spin er det forventede antal pr. nummer 8,1; standardafvigelsenmatematikStandardafvigelseKvadratroden af variansen; et resultats typiske afstand fra den forventede værdi.Læs det hele → er ca. 2,8. Et eller andet nummer vil vise 15 træffere og et andet 2 ved ren tilfældighed, hver gang. En resultattavle, der fremhæver »varme« numre, fremhæver toppen af en normalfordeling. Laboratoriet forklarer, hvor mange spin der skal til, før et varmt nummermyteVarmt nummerEt nummer, der på det seneste er kommet oftere end forventet. På et fair hjul forudsiger det ingenting.Læs det hele → betyder noget (tusindvis, fra ét identificeret hjul).
Uafhængighed er hele pointen
En række på ti røde gør ikke sort mere sandsynlig, og den gør heller ikke rød mere sandsynlig. Begge er 18/37. Serier er en egenskab ved tilfældige rækker og ville være mistænkelige ved deres fravær: en række på 200 spin uden nogen serie længere end fire ville være langt stærkere belæg for manipulation end en række med en serie på tolv.
Formel
Spørgsmål
26 sorte i Monte Carlo den 18. august 1913 er den berømte. 32 røde i træk blev rapporteret i et amerikansk casino i 1943. Begge er forenelige med tilfældighed, når man tænker på, hvor mange spin casinoer kører.
Det er 18/37 begge veje. Sats det, din plan siger, eller ingenting.
Nej. Skævhed viser sig ved, at nogle lommerudstyrLommeEt af de 37 nummererede rum på rotoren. Også: fag, skål.Læs det hele → rammes oftere over tusindvis af spin, ikke ved rækker af en farve.
Leg med matematikken
Prøv selv først. Hver løsning er foldet sammen; åbn den, når du er klar.
Hvor mange spin på et europæisk hjul går der i gennemsnit, før hvert eneste af de 37 numre er kommet mindst én gang?
Vis løsningen
Svar Omkring 155 spin i gennemsnit; medianen er 147.
Tæl ventetiden ét nyt nummer ad gangen. Det første spin viser altid et nyt nummer. Når du har set 1 nummer, er 36 lommerudstyrLommeEt af de 37 nummererede rum på rotoren. Også: fag, skål.Læs det hele → ud af 37 nye, så det næste nye nummer tager i gennemsnit 37/36 spin. Når du har set k numre, tager det 37/(37 − k).
Læg ventetiderne sammen: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 spin.
Det meste af det er slutningen. Det sidste nummer alene tager i gennemsnit 37 spin, og de sidste fem omkring 85. På et amerikansk hjul giver den samme sum omkring 161. Det er kuponsamlerproblemet; Wizard of Odds giver det samme gennemsnit.
Hvor mange forskellige numre kan du forvente at se på 37 spin på et europæisk hjul, ét spin for hver lomme?
Vis løsningen
Svar Omkring 23,6. Cirka en tredjedel af numrene, omkring 13, kommer slet ikke.
Tag ét nummer, fx 17. I hvert spin udebliver det med sandsynligheden 36/37, så det misser alle 37 spin med sandsynligheden (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Hvert nummer har samme sandsynlighed, så i gennemsnit mangler 37 × 0,363 ≈ 13,4 numre, og 37 − 13,4 ≈ 23,6 kommer, mange af dem to gange eller flere.
Roulettespillere kalder det »tredjedelsloven«. Det er ingen lov, kun gentagelsernes regnestykke: i en serie lige så lang som hjulet sidder omkring en tredjedel af numrene over, på et fair hjul som på ethvert andet. På 38 lommer er andelen også (37/38)³⁸ ≈ 0,363; for et stort hjul lægger den sig nær 1/e ≈ 0,368.
En ven viser dig to lister med 50 farver, rødindsatsRødSimpel chance på de 18 røde numre. Fransk: rouge.Læs det hele → eller sortindsatsSortSimpel chance på de 18 sorte numre. Fransk: noir.Læs det hele →, som begge siges at stamme fra et hjul, hvor nullernehjulNulDen ene grønne lomme, som ingen simpel chance, dusinindsats eller kolonneindsats dækker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnul, 0.Læs det hele → er udeladt. Den ene skifter farve 25 gange, og dens længste række er seks. Den anden skifter 35 gange og kommer aldrig over tre i træk. Hvilken er opdigtet?
Vis løsningen
Svar Den anden. En ægte liste skifter ca. 24 eller 25 gange. En med 35 skift dukker op ca. én gang ud af 500 lister, og en uden nogen række længere end tre ca. to gange ud af 100.
Hver ny farve gentager enten den forrige eller skifter, halvt om halvt, så 49 muligheder for at skifte giver i gennemsnit 24,5 skift, plus/minus ca. 3,5. Femogtredive ligger tre af de skridt over gennemsnittet; et fair hjul giver så mange skift ca. én gang ud af 500 lister.
Rækkerne fortæller det samme. En ægte liste på 50 har en række på fire eller flere i ca. 98% af tilfældene, og dens længste række er oftest fem eller seks.
Folk, der bliver bedt om at opfinde en tilfældig liste, skifter for ofte, fordi en række på fire eller fem ser ud som et mønster for dem. Taylor (2021) viser det samme kendetegn i lister over møntkast, som studerende har opdigtet: ægte tilfældighed har flere serier, end folk forventer.
En bog med casinohistorier fortæller om en spiller, hvis nummer kom fem gange i træk, og kalder det en rekord. Hvor sjældent er det på et europæisk hjul? Og hvor ofte bør det ske et eller andet sted i et casino med 20 borde, der hver spinner 40 gange i timen, døgnet rundt?
Vis løsningen
Svar Et bestemt nummer fem gange i træk: 1 ud af 69 millioner. Et hvilket som helst nummer, der kommer fire gange mere, efter at det er kommet første gang: 1 ud af 1,87 millioner. Casinoet spinner omkring 7 millioner gange om året, så det bør se en serie på fem tre eller fire gange om året.
Et bestemt nummer kommer med sandsynligheden 1/37 i hvert spin, så fem i træk har sandsynligheden (1/37)⁵ = 1 ud af 69.343.957. Men ingen udpeger nummeret på forhånd. Hvad der end kommer først, skal de næste fire spin gentage det: (1/37)⁴ = 1 ud af 1.874.161.
20 borde × 40 spin × 24 timer × 365 dage = 7.008.000 spin om året. Hvert spin kan starte en serie, så casinoet kan forvente 7.008.000/1.874.161 ≈ 3,7 serier på fem om året.
Der findes ingen officiel rekord af den slags, og der er ikke brug for nogen: en sjælden hændelse ved ét bord er rutine i et helt casino, og historierne fortælles om det bord, hvor det skete. Historien, i Goldman (2007), foregår på et hjul med dobbeltnul, hvor tallene er 1 ud af 79 millioner og 1 ud af 2,09 millioner.
Et komisk indslag
Lange serier er det, tilfældighed ser ud som.
Kilder
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.