Kelly-kriteriet og roulette

Kriteriet

John Kelly (1956) spurgte, hvordan en spiller med en kendt fordel bør vælge sine indsatser for at maksimere væksten i bankrollpengeBankrollDet samlede beløb, der er sat af til spil. Bankrollstyring er at beslutte, hvor meget af det du vil risikere pr. indsats og pr. session.Læs det hele → i det lange løb. Svaret, for en indsats, der udbetaler b til 1, med gevinst-sandsynlighedmatematikSandsynlighedHvor sandsynligt et udfald er, fra 0 til 1 eller fra 0% til 100%. Ét nummer: 1/37 = 2,70%.Læs det hele → p og tabssandsynlighed q = 1 − p, er at satse andelen f* = (bp − q) / b af bankrollen. Positiv f* betyder, at man satser den andel; nul eller negativ betyder, at man ikke satser. Kelly arbejdede på Bell Labs, og hans artikel, »A new interpretation of information rate«, satte problemet ind i Claude Shannons informationsteori: en spiller, der får tips over en støjfyldt linje, til reelle odds, kan i bedste fald få bankrollen til at vokse med den hastighed, hvormed linjen overfører information. I 1961 beviste Leo Breiman, at den, der satser efter Kelly, i det lange løb ender foran enhver væsentligt anderledes strategi og når et fastsat mål på omtrent den kortest mulige tid.

Anvendt på roulette

For rødindsatsRødSimpel chance på de 18 røde numre. Fransk: rouge.Læs det hele →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. For en straight upindsatsStraight upÉt enkelt nummer, udbetaler 35:1.Læs det hele →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Hver standardindsats giver en negativ Kelly-andel, fordi hver indsats har en negativ fordel, og den vækstoptimale indsats er nul. Kelly er en formel måde at sige det, siden om husets fordel siger: der findes ingen størrelse, hvor en indsats med negativ forventning får en bankroll til at vokse.

Hvor Kelly gjaldt

Skævhedsspillere havde en fordel og et problem med at vælge indsatsstørrelse. Jagger, García-Pelayo-familien og Eudaemons skulle alle beslutte, hvor meget de ville satse på deres målte fordel, og for lave indsatser spilder fordelen, mens for høje indsatser risikerer ruin, før fordelen viser sig. For en lommeudstyrLommeEt af de 37 nummererede rum på rotoren. Også: fag, skål.Læs det hele →, der rammes 1 gang ud af 30, siger Kelly 0,57% af bankroll pr. spin på det nummer: med $10.000 omkring $57 pr. spin, for en typisk vækst på ca. 0,054% pr. spin, eller ×1,7 over 1.000 spin. Den gennemsnitlige gevinst er det dobbelte, 0,11% pr. spin, men Kelly sigter mod den typiske bankroll, ikke den gennemsnitlige, som nogle få heldige serier puster op. Halv Kelly er det sædvanlige praktiske valg, fordi skønnet over fordelen er usikkert.

Berømte roulettespillereEudaemons

Typisk og gennemsnitlig

Afstanden mellem den typiske bankroll og den gennemsnitlige er stor. Tag en lomme, der rammer 1 gang ud af 25, en fordel på 44%, det tal, Thorp angiver for sit apparat. Kelly satser 1,26% af bankrollen på den. Efter 1.000 spin er den typiske bankroll vokset ca. 11,5 gange, mens gennemsnittet, trukket op af nogle få meget heldige forløb, er vokset ca. 249 gange. At satse mere end Kelly hæver gennemsnittet og sænker det typiske resultat: ved den dobbelte Kelly-indsats bliver den typiske bankroll kun fordoblet, og ved to en halv gange Kelly-indsatsen skrumper den, selv om hver indsats stadig har en fordel på 44%. At satse mindre koster ikke meget: den halve indsats bevarer ca. tre fjerdedele af væksten.

Når fordelen er et gæt

Kelly forudsætter, at fordelen er kendt. Ved bordet er den anslået, og skønnet er som regel for højt. Epsteins eksempel, bygget på Thorps 44%, er et nummer, der kom 49 gange i 1.225 spin på et hjul med to nullerhjulNulDen ene grønne lomme, som ingen simpel chance, dusinindsats eller kolonneindsats dækker; kilden til husets fordel. Også: enkeltnul, 0.Læs det hele →: 1 gang ud af 25, en fordel på 44% og en Kelly-indsats på 1,26%. Men et fair hjul med dobbeltnul har 38 numre, og det hyppigste af dem når 49 eller flere i 1.225 spin omkring én gang ud af ni. Det hyppigste nummer i enhver optegnelse er også det, heldet har hjulpet mest, så selv en virkelig skæv lomme ser bedre ud i optegnelsen, end den er: vinderens forbandelse. Hvis lommen i virkeligheden er fair, er Kelly-indsatsen simpelthen en indsats, der i gennemsnit taber 5,26%. De sædvanlige svar er at satse en brøkdel af Kelly og at blive ved med at tælle, indtil fordelen holder i en ny optegnelse (se Sådan påviser du hjulskævhed).

Folk med en fordel

At kende fordelen er ikke det samme som at bruge den godt. Haghani og Dewey (2016) gav 61 personer $25 hver til at satse i en halv time på en mønt, som de fik at vide viste krone 60% af gangene, med gevinsten begrænset til $250 (spillerne fik først loftet at vide, når de nåede det). Kelly siger: sats 20% af din bankroll på krone hver gang, og forfatterne anslår, at faste indsatser på 10–20% ville nå loftet ca. 95% af gangene. Kun 21% af spillerne nåede dertil. 28% gik bankerot, 18 af de 61 satsede alt på et enkelt kast, omkring en tredjedel sluttede under de $25, de startede med, og den gennemsnitlige udbetalingpengeUdbetalingDet, en vindende indsats giver tilbage, angivet som »X til 1« oven i den returnerede indsats.Læs det hele → var $91. Kun fem af de 61 havde hørt om Kelly-kriteriet. Med en fordel afgør indsatsernes størrelse, om du beholder den; uden en, som ved et fair hjul, hjælper ingen størrelse.

Hvad man bruger i stedet

Uden en fordel er indsatsstørrelsen et spørgsmål om budget, ikke om vækst: indsats = det, du er villig til at bruge pr. spin, udledt af timebudgettet og bordets tempo (siden om bankrollstyring). Kellys bidrag til den almindelige spiller er klarheden i svaret: nul. Alt, hvad du satser over nul, er prisen for at spille, valgt af dig, ikke optimeret af nogen formel.

En bemærkning om delvis Kelly og »money management«

Systemer, der sælges som »Kelly til roulette« og anbefaler en fast procentdel af bankrollen pr. indsats, er fast indsatsstrategiFast indsatsAt satse det samme beløb i hvert spin. Det grundlag, enhver progression sammenlignes med.Læs det hele → med en faldende indsats. De taber 2,70% af omsætningenpengeOmsætningDet samlede satsede beløb over en session eller en periode, inklusive gevinster, der satses igen. Også: handle, action.Læs det hele →, og fordi indsatsen skrumper, når du taber, gør de ruin langsom frem for usandsynlig. Det er en fornuftig måde at få et budget til at holde på; det er ikke Kelly, som ville sige, at man skal stoppe.

Fast indsats

Formel

Spørgsmål